Estadistica

TEORÍA DE CONJUNTOS

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia los conceptos de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.

Sin embargo, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, ...; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de esta. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.

Ejemplos.

Los conjuntos numéricos usuales en matemáticas son: el conjunto de los números naturales $N$ , el de los números enteros $Z$ , el de los números racionales $Q$ , el de losnúmeros reales $R$ y el de los números complejos $C$ . Cada uno es subconjunto del siguiente:

${\mathbb {N}}\subseteq {\mathbb {Z}}\subseteq {\mathbb {Q}}\subseteq {\mathbb {R}}\subseteq {\mathbb {C}}$

El espacio tridimensional $E 3$ es un conjunto de objetos elementales denominados puntos $p$ , $p \in E 3$ . Las rectas $r$ y planos $α$ son conjuntos de puntos a su vez, y en particular son subconjuntos de $E 3$ , $r \subseteq E 3$ y $α \subseteq E 3$ .VVVVEl

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO

principio fundamental de conteo establece que si hay p formas de hacer una cosa, y q formas de hacer otra cosa, entonces hay p × q formas de hacer ambas cosas.

Ejemplo 1:

Suponga que tiene 3 camisas (llamémoslas A, B, y C), y 4 pares de pantalones (llamémoslos w, x, y, y z). Entonces Usted tiene

3 × 4 = 12

combinaciones posibles:

Aw, Ax, Ay, Az

Bw, Bx, By, Bz

Cw, Cx, Cy, Cz

Ejemplo 2:

Suponga que lanza un dado de 6 lados y saca una baraja de un mazo de 52 barajas. Hay 6 resultados posibles con el dado, y 52 resultados posibles con el mazo de barajas. Así, hay un total de

6 × 52 = 312

resultados posibles del experimento.

El principio de conteo puede extenderse a situaciones donde tenga más de 2 opciones. Por ejemplo, si hay p formas de hacer una cosa, q formas para una segunda cosa, y r formas de hacer una tercera cosa, entonces hay p × q × r formas de hacer las tres cosas.

El análisis combinatorio también se define como una manera práctica y abreviada de contar; las operaciones o actividades que se presentan son designadas como eventos o sucesos.

Ejemplo :
1. Señalar las maneras diferentes de vestir de una persona, utilizando un número determinado de prendas de vestir
2. Ordenar 5 artículos en 7 casilleros
3. Contestar 7 preguntas de un examen de 10
4. Designar 5 personas de un total 50 para integrar una comisión
5. Sentarse en una fila de 5 asientos 4 personas
6. Escribir una palabra de 7 letras utilizando 4 consonantes y 3 vocales
PERMUTACIONES EN EL ANALISIS COMBINATORIO Principios fundamentales del Análisis Combinatorio: En la mayoría de los problemas de análisis combinatorio se observa que una operación o actividad aparece en forma repetitiva y es necesario conocer las formas o maneras que se puede realizar dicha operación. Para dichos casos es útil conocer determinadas técnicas o estrategias de conteo que facilitarán el cálculo señalado.
2. ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5?

m = 5 n = 5

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

3. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?

Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.

COMBINACIONES

Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que:

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.