Esperanza matemática

Esperanza matemática

 La esperanza matemática de una función g(X) está dada por

 

donde f(X) es, respectivamente, la función de probabilidad o la función densidad de probabilidad y g(X) es cualquier función de valores reales que está definida para todos los valores posibles de X.

PROPIEDADES DE LA ESPERANZA MATEMÁTICA

Proposición 4.1: E[a g(X) +b h(X)] = a E[g(X)]+b E[h(X)]; a, b constantes. [4.4]

Demostración:


Nota si X es discreta, la demostración se hace en la misma forma, usando sumatorias en vez de integrales.

Proposición 4.2: E[c₁ X + c₂] = c₁ E [X] + c₂ [4.5]

Demostración:

7

Ejemplo 1: La probabilidad de que una casa de cierto tipo quede destruida por un incendio en cualquier período de doce meses es de 0.005. Una compañía de seguros ofrece al propietario una póliza de seguros contra incendio por $20,000.00 (dólares) a un año con una prima de $150.00 dólares. ¿Cuál es la ganancia esperada de la compañía?
Solución: Sea S = {se incendie, no se incendie}, el espacio muestral, La variable aleatoria asociada es X = {0,1}, donde 0 significa que se incendie y 1 que no se incendie (estos valores son arbitrarios). g(X) representa la ganancia de la compañía por cada casa asegurada (sin tomar en cuenta gastos). La situación se explica mejor en una tabla.

Evento	X	g(X)	f(X)
Se incendie	0	-$19,850.00	0.005
No se incendie	1	+$150.00	0.995

En caso de que la compañía asegure 20,000 casas, su ganancia esperada sería de $1,000,000.00 (sin tomar en cuenta gastos).

La esperanza matemática de una función g(X) está definida por:

Teorema de Bayes

La interpretación más aceptada del teorema de Bayes, es que su estructura permite el calculo de probabilidades después de haber sido realizado un experimento (probabilidades aposteriori), basándose en el conocimiento de la ocurrencia de ciertos eventos que dependan del evento estudiado, o sea, se parte de probabilidades conocidas antes de efectuar el experimento (probabilidades apriori), las cuales son afectadas por las probabilidades propias del experimento (las que aparecen durante la ocurrencia del evento).

Continuando nuestro análisis sobre el teorema de Bayes, la probabilidad condicional deA_i dado B, para cualquier i, es:

Aplicando en el numerador la Regla de Multiplicación P(A_iÇB) = P(A_i) P(B|A_i) y en el denominador el Teorema de Probabilidad Total  P(B) = P(A₁) P(B | A₁) + P(A₂) P(B | A₂) + . . . + P(A_n) P(B | A_n), obtenemos la ecuación que representa al:

Teorema de Bayes

Ejemplo1. Referente al problema de la fábrica que produce dos tipos de reguladores A y B visto anteriormente en la aparte corresponde al Teorema de Probabilidad Total, cabe hacer el siguiente análisis: si se selecciona un regulador al azar de la producción de la fábrica y se ve que funciona bien ¿Cuál es la probabilidad de que sea del tipo B?

Solución

En este caso el estudio se restringe a los reguladores que funcionan bien, por lo que ese evento actúa como espacio muestral reducido, o sea como evento condición. Por lo tanto, el planteamiento de la pregunta es P(B | F).

Los datos que se tienen son :

P(A) = 0.75     P(F | A) = 0.95

P(B) = 0.25     P(F | B) = 0.98

De acuerdo al Teorema de Bayes:

Podemos observar que el denominador corresponde al resultado obtenido al aplicar el Teorema de Probabilidad Total, lo cual debe ser así, ya que la probabilidad condicional establece que . De esta forma podemos ver que la Probabilidad

Total es el denominador de la fórmula del Teorema de Bayes. También podemos observar que aplicando los conceptos de la Regla de Multiplicación y del Teorema de Probabilidad Total llegamos al planteamiento del teorema de Bayes, Veamos:

Ejemplo2. Una fábrica que produce material para la construcción tiene 3 máquinas, a las que se les denomina A, B y C. La máquina A produce tabique, la B adoquín y la C losetas. La máquina A produce el 50% de la producción total de la fábrica, la B el 30% y la C el 20%. Los porcentajes de artículos defectuosos producidos por las máquinas son, respectivamente, 3%, 4% y 5%. Si se selecciona un artículo al azar y se observa que es defectuoso, encontrar la probabilidad de que sea un tabique.

Solución

Definamos el evento D como sea un artículo defectuoso. De acuerdo a esto tenemos que:

P(A) = 0.5       P(D | A) = 0.03

P(B) = 0.3       P(D | B) = 0.04

P(C) = 0.2       P(D | C) = 0.05

Si el artículo del que deseamos calcular la probabilidad es un tabique, significa que es producido por la máquina A. También observamos que en la solución solamente participan los artículos defectuosos, ya que se pone por condición esta característica. Por lo tanto:

Ejemplo 3. A un congreso asisten 100 personas, de las cuales 65 son hombres y 35 son mujeres. Se sabe que el 10% de los hombres y el 6% de las mujeres son especialistas en computación. Si se selecciona al azar a un especialista en computación ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?

Solución

Definamos los eventos:

H:    Sea un  hombre

M:   Sea una mujer

E:         La persona sea especialista en computación

Tenemos que:

                

                

Por lo tanto:

Reglas  de  Probabilidad

Existen  tres  reglas  fundamentales  para  resolver  problemas  en  donde  se  desea  determinar  la  probabilidad  de  un  suceso   si  se  conocen  las  probabilidades  de  otros   sucesos   que  están  relacionados  con  él. Estas  dos  reglas  son :  Regla  de la  Adición , Probabilidad   Condicional  y   Regla de la Multiplicación  o Probabilidad  Conjunta .

Existe  otra  regla  muy  importante  que  es  El  Teorema  de  Bayes,  pero en esta Unidad   dedicaremos  un   aparte   especial  a  ella.

Regla de la Adición:  Esta  regla  expresa  la  probabilidad  de  que  ocurran   dos  o  más  sucesos  a  la  vez,   P ( A U B).

Puede  presentarse    de  dos  formas:  para  conjuntos   con  intersección  y   para   conjuntos   mutuamente  excluyentes.  Veamos:

Para   conjuntos  con  Intersección:

                                                

  Esto  se  debe  a  que  sumamos  la  probabilidad  de  A más  la  probabilidad de B , pero  como  ya  habíamos sumado la  intersección,  entonces  la  restamos.

Para   conjuntos  con  Mutuamente excluyentes:

                                                             

En este  caso,  no  hay  ningún  problema  en  sumar  ambas  probabilidades.

Ejemplo 1:  Se  lanzan  un   dado.  Usted  gana  $ 3000   pesos   si   el  resultado  es    par  ó   divisible  por  tres   ¿Cuál es  la  probabilidad  de  ganar ?

Lo  que  primero  hacemos   es  definir  los  sucesos :

Sea  A = resultado  par :  A = { 2, 4, 6 }

Sea  B = resultado   divisible por  3 : B = { 3, 6 }   .  Ambos  sucesos  tienen  intersección ?

                                                                                 Luego,

                                                         

                                                         

Ejemplo 2 : Se  tiene  una  baraja  de  cartas (  52  cartas  sin  jockers),  ¿ Cuál  es la  probabilidad  de   sacar  una   Reina  ó  un  As  ?  

Sea A = sacar  una  reina    y   sea  B = sacar  un  as,    entonces :

                              

NOTA:   Si  observas esta   regla,  puedes   notar  que  se  relaciona   fuertemente   con  la  Unión  entre   conjuntos  ( ó ) y  es  una  suma.

Probabilidad   Condicionada:  Es   la    probabilidad  de  obtener    un   suceso,  dado   que  ya  ocurrió  otro.  Es  decir,   si  tenemos   los  sucesos  A  y  B que  pertenecen a  un  mismo  espacio  muestral  S ,  y   si   la  P (A)  es  diferente  de cero,  entonces esta  probabilidad  que  esta  designada  por :  

                                         

Para calcular esta  probabilidad  es  necesario   conocer   tanto  la  probabilidad  marginal  de  uno  de  los  sucesos ( P(A) )  como  la  probabilidad  de  la  intersección  de  ambos ( o  la  probabilidad  cuando  ocurran  los  dos  sucesos a  la  vez ). 

Ejemplo 3 : La  probabilidad  de  que  una  persona   tenga  una  cuenta   de  ahorros  es  de   0,65  y    la  probabilidad   de  que  invierta  en  un  CDT  y  ahorre  en  una  cuenta  de  ahorros es  de  0,30.  Se  seleccionó  una   persona al  azar   y   resultó  tener  una  cuenta   de  ahorros  ¿ Cuál  es    la  probabilidad  de  que  tenga  también  un  CDT ?

Sea  A =  tener  una  cuenta de  ahorros ,   B =  tener  un  CDT

Regla de la Multiplicación  :  Esta  regla  expresa  la  probabilidad  de  que  ocurra  un  suceso  A  y  un  suceso  B.

Pueden  ocurrir  dos  formas:   que  el  segundo  suceso  depende   del  primero  o   que  ninguno  dependa  del  otro,  por  lo  tanto  veremos  estas  dos  formas:

Para   sucesos   dependientes:

                                                                             

NOTA:   Si  observas esta   regla,  puedes  darte  cuenta  que  se  relaciona   fuertemente   con  la  Intersección   entre   conjuntos  ( y ), es  una  multiplicación.

Ejemplo  1: Se  sacan   dos  cartas  sin  restitución  (  se  saca  la  primera   se  observa  y  no  se  vuelve  a  meter ) de  una  baraja  de   52  cartas, ¿ Cuál  es  la  probabilidad  de  que   ambas  sean  reyes ?

Sea  R = sacar  un rey

Observe  que lo  que   necesitamos  es   la  probabilidad  de  sacar un  rey  en la   primera  carta  y  un  rey  en la  segunda, es  decir:

                                          
                                          

Para   sucesos  independientes:                           

                                                                               

Ejemplo  2: Se  sacan   dos  cartas  con  restitución   una  baraja  de   52  cartas, ¿ Cuál  es  la  probabilidad  de  que  ambas  sean  corazones ?

Sea  C = carta   de  corazones

NOTA:  Observa que  la  probabilidad  del  segundo  suceso   no  se  ve  afectada  por  la  probabilidad  del  primero.  ¿ A  qué se   deberá?.

Probabilidad

 En ocasiones realizamos acciones, por ejemplo lanzar una moneda al aire, en las que conocemos de antemano los posibes resultados que se pueden dar (cara o cruz) pero no sabemos exactamente cual de ellos se va a dar.

Lo mismo ocurre cuando lanzamos un dado: sabemos que puede salir 1, 2, 3, 4, 5, o 6, pero no sabemos cual de ellos saldrá.

Los resultados de estas acciones dependen del azar:

Sabemos cuales pueden ser pero es imposible determinar de antemano cual será.

La probabilidad mide las posibilidades de que cada uno de los posibles resultados en un suceso que depende del azar sea finalmente el que se de.

Por ejemplo: la probabilidad mide la posibilidad de que salga "cara" cuando lanzamos una moneda, o la posibilidad de que salga 5 cuando lanzamos un dado.

1.- Sucesos

Llamamos sucesos a los posibles resultados de una acción que depende del azar.

Distinguimos 3 tipos de sucesos:

Suceso posible: Es un resultado que se puede dar.

Por ejemplo, el 5 es un suceso posible cuando lanzamos un dado.

Suceso imposible: Es un resultado que no se puede dar.

Por ejemplo, el 7 es un suceso imposible cuando lanzamos un dado (el dado no tiene el número 7).

Suceso seguro: Es un resultado que siempre se va a dar.

Por ejemplo, "número menor de 7" es un suceso seguro cuando lanzamos un dado (cualquier número que salga al lanzar el dado será menor que 7).

2.- Probabilidades de los sucesos

Dentro de los sucesos posibles vamos a distinguir:

Suceso igual de probable: es aquel resultado que tiene la misma probabilidad que los demás:

Por ejemplo: cuando lanzamos una moneda, el suceso "cara" tiene las mismas probabilidades que el suceso "cruz".

Suceso muy probable: es aquel resultado que tiene muchas probabilidades de darse:

Por ejemplo: en una bolsa con 100 bolitas numeradas del 1 al 100, el suceso "sacar una bola con un número entre 1 y 98" tiene muchas probabilidades de ocurrir.

Suceso poco probable: es aquel resultado que tiene muy pocas probabilidades de darse:

Por ejemplo: en una bolsa con 100 bolitas, 99 blanca y 1 negra, el suceso "sacar la bolsa negra" tiene pocas probabilidades de ocurrir.

3.- Cálculo de probabilidades

Para calcular probabilidades se utiliza la siguiente fórmula:

Probabilidad = Casos favorables / Casos posibles

El resultado se multiplica por 100 para expresarlo en porcentaje.

Veamos algunos ejemplos:

a) Calcular la probabilidad de que salga "cara" al lanzar una moneda:

Casos favorables: 1 (que salga "cara")
Casos posibles: 2 (puede salir "cara" o "cruz")
Probabilidad = (1 / 2 ) * 100 = 50 %

b) Calcular la probabilidad de que salga "3" al lanzar un dado:

Casos favorables: 1 (que salga "3")
Casos posibles: 6 (puede salir "1, 2, 3, 4, 5 o 6")
Probabilidad = (1 / 6 ) * 100 = 16,6 %

c) Calcular la probabilidad de que salga "un número entre 1 y 4 " al lanzar un dado:

Casos favorables: 4 (sería válido cualquiera de los siguientes resultados "1, 2, 3, o 4")
Casos posibles: 6 (puede salir "1, 2, 3, 4, 5 o 6")
Probabilidad = (4 / 6 ) * 100 = 66,6 %

d) Calcular la probabilidad de que salga el número 76 al sacar una bolita de una bolsa con 100 bolitas numeradas del 1 al 100:

Casos favorables: 1 (sacar el número 76)
Casos posibles: 100 (hay 100 números en la bolsa)
Probabilidad = (1 / 100 ) * 100 = 1 %

e) Calcular la probabilidad de que salga "un número entre 1 y 98" al sacar una bolita de una bolsa con 100 bolitas numeradas del 1 al 100:

Casos favorables: 98 (valdría cualquier número entre 1 y 98)
Casos posibles: 100 (hay 100 números en la bolsa)
Probabilidad = (98 / 100 ) * 100 = 98 %

TEORÍA DE CONJUNTOS

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia los conceptos de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.

Sin embargo, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, ...; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de esta. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.

Ejemplos.

• Los conjuntos numéricos usuales en matemáticas son: el conjunto de los números naturales N, el de los números enteros Z, el de los números racionales Q, el de losnúmeros reales R y el de los números complejos C. Cada uno es subconjunto del siguiente:

• El espacio tridimensional E₃ es un conjunto de objetos elementales denominados puntos p, p ∈ E₃. Las rectas r y planos α son conjuntos de puntos a su vez, y en particular son subconjuntos de E₃, r ⊆ E₃ y α ⊆ E₃.VVVVEl
• 

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO

• principio fundamental de conteo establece que si hay p formas de hacer una cosa, y q formas de hacer otra cosa, entonces hay p × q formas de hacer ambas cosas.
  Ejemplo 1:

  Suponga que tiene 3 camisas (llamémoslas A, B, y C), y 4 pares de pantalones (llamémoslos w, x, y, y z). Entonces Usted tiene

  3 × 4 = 12

  combinaciones posibles:

  Aw, Ax, Ay, Az

  Bw, Bx, By, Bz

  Cw, Cx, Cy, Cz
  Ejemplo 2:

  Suponga que lanza un dado de 6 lados y saca una baraja de un mazo de 52 barajas. Hay 6 resultados posibles con el dado, y 52 resultados posibles con el mazo de barajas. Así, hay un total de

  6 × 52 = 312

  resultados posibles del experimento.
  El principio de conteo puede extenderse a situaciones donde tenga más de 2 opciones. Por ejemplo, si hay p formas de hacer una cosa, q formas para una segunda cosa, y r formas de hacer una tercera cosa, entonces hay p × q × r formas de hacer las tres cosas.   
  El análisis combinatorio también se define como una manera práctica y abreviada de contar; las operaciones o actividades que se presentan son designadas como eventos o sucesos.
  Ejemplo :
  1. Señalar las maneras diferentes de vestir de una persona, utilizando un número determinado de prendas de vestir
  2. Ordenar 5 artículos en 7 casilleros
  3. Contestar 7 preguntas de un examen de 10
  4. Designar 5 personas de un total 50 para integrar una comisión
  5. Sentarse en una fila de 5 asientos 4 personas
  6. Escribir una palabra de 7 letras utilizando 4 consonantes y 3 vocales
  
  
  
  
  PERMUTACIONES EN EL ANALISIS COMBINATORIO                                                       Principios fundamentales del Análisis Combinatorio: En la mayoría de los problemas de análisis combinatorio se observa que una operación o actividad aparece en forma repetitiva y es necesario conocer las formas o maneras que se puede realizar dicha operación. Para dichos casos es útil conocer determinadas técnicas o estrategias de conteo que facilitarán el cálculo señalado.
• 2. ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5?
  m = 5     n = 5
  Sí entran todos los elementos.
  Sí importa el orden.
  No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.
  
  3. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?
  Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.
  Sí importa el orden.
  No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.
  

1. COMBINACIONES

Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que:

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.

También podemos calcular las combinaciones mediante factoriales:

Las combinaciones se denotan por 

1. Calcular el número de combinaciones de 10 elementos tomados de 4 en 4.

2. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?

No entran todos los elementos.

No importa el orden: Juan, Ana.

No se repiten los elementos.